Détecter si un point est avant, sur ou après une droite

Parfois, il est intéressant de savoir si un point est sur une droite, avant ou après. Dans mon moteur Build-like pour mon musée virtuel, par exemple, détecter cela entre dans le système de décision du sens du dessin. Si un polygone est dessiné dans un sens, il sera considéré à l’endroit (normales dirigées vers l’intérieur) ou dessiné dans l’autre sens, il sera considéré comme à l’envers (normales dirigées vers l’extérieur). J’expliquerais ce système de décision dans un autre article qui marie la technique pour trouver le sens d’un segment et celle présenté ici 🙂

Detecter point droite 1Dans le dessin ici présent, on peut voir une droite et trois points. Le point A et avant la droite, soit négatif. Le point B est sur la droite, soit à zéro. Le point C est après la droite, soit positif. Pour calculer le signe du rapport entre le point et la droite, il faut d’abord calculer l’équation cartésienne de la droite à partir d’un vecteur de cette droite. Prenons un segment et calculons son vecteur directeur. J’explique cela dans l’article Calculer la norme, la normale et le milieu d’un segment. Voici comment déterminer l’équation cartésienne de ce vecteur directeur non horizontale, ni verticale. Ces deux cas particuliers seront déterminés ensuite.

Équation à déterminer :
Vecteur.y = a * Vecteur.x + b
Détermination de a et b :
a = Vecteur.y / Vecteur.x
b = Vecteur.y - a * Vecteur.x

Voilà, une fois cette équation obtenue il s’utilise simplement en plaçant des coordonnées du point à détecter sur ou autour de la droite à la place y et x et déplacer y dans l’équation de sorte à obtenir un nombre inférieur, égal ou supérieur à zéro.

Détection = a * Point.x + b - Point.y

Avant d’expliquer avec un schéma où se situe la positif et le négatif pour les différentes droites possibles, voici comment traiter les droites horizontale et verticale.

Équation horizontale :
Vecteur.y = b
Donc :
a = 0
b = Vecteur.y
Équation verticale :
Vecteur.x = a
Donc :
a = Vecteur.x
b = 0

Pour l’utilisation de ces équations, il n’y a pas de difficulté pour la droite verticale, par contre pour la droite horizontale, il y a un sens à respecter pour obtenir un résultat signé correctement comme vous le verrez sur le schéma qui suivra.

Avec la droite verticale :
Détection = Point.x - a
Avec la droite horizontale :
Détection = b - Point.y

Detecter point droite 2La logique de ces équations ressort dans le schéma suivant. Dans un repère avec X allant de gauche à droite, et Y allant de haut en bas, cela se passe comme suit. Pour la droite horizontale, le signe positif se trouve à droite et le négatif à gauche. Pour la droite horizontale, le signe positif se trouve en haut et le négatif en bas. Le sens est inversé par rapport au repère pour cette droite. Enfin, les autres droites, en les imaginant tourner de la droite verticale en partant d’en haut (au-dessus de zéro), et tournant vers la gauche, le positif est donc à droite de la droite, parties bleue et rouge confondus. Une fois que le haut (bleu) de la droite dépasse la droite horizontale, toujours en tournant vers la gauche, donc se trouve en dessous, le positif est au-dessus de la droite et le négatif en dessous, et tend vers la droite du repère. La rotation s’arrête peu avant de revenir à une droite verticale, autrement le positif à gauche pour la partie bleue de la droite en bas change de côté. C’est visible pour la partie rouge de la droite verticale qui suit le sens de sa partie bleue.

Ce principe rappelle mon schéma pour le Calcul du sens d’un segment, à la différence que l’axe des changements de sens n’est pas l’axe des X, mais celui des Y. En adaptant ce schéma du sens d’un segment à celui-ci, j’ai pu marier les deux techniques et concevoir mon système de prise de décision du sens du dessin et de où se trouve l’intérieur et l’extérieur d’un secteur dessinés sans  que nous utilisateurices n’ayons à nous soucier du sens du dessin. Ce sera expliqué au prochaine article 🙂

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